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Mathematische Konstante

24.05.2012 @ 10:25, .gs8,

Eine mathematische Konstante ist eine fest definierte spezielle reelle oder komplexe Zahl, die sich auf natürliche Weise in der Mathematik ergibt. Anders als physikalische Konstanten werden mathematische Konstanten unabhängig von jedem physikalischen Maß definiert. Viele spezielle Zahlen haben eine besondere Bedeutung in der Mathematik und treten in vielen unterschiedlichen Kontexten auf. Beispielsweise gibt es auf den reellen oder komplexen Zahlen genau eine differenzierbare Funktion $f$ mit $f^\backslash prime\; =\; f$ und $f(0)\; =\; 1$. Folglich ist $f(1)$ eine mathematische Konstante: $e$. Auf den komplexen Zahlen ist $f$ eine periodische Funktion, und der Betrag ihrer Periode ist eine andere mathematische Konstante: $2\; \backslash pi$. Mathematische Konstanten sind Elemente des Körpers der reellen oder komplexen Zahlen und lassen sich in vielen Fällen numerisch beliebig genau berechnen. Jedoch gibt es auch einige mathematische Konstanten, für die nur sehr grobe Näherungen bekannt sind, wie zum Beispiel die Brunsche Konstante $B\_2\; =\; 1\{,\}90216058...$

Das Gebiet der mathematischen Konstanten wird der Zahlentheorie zugerechnet und ist seit Archimedes bis in die heutige Zeit Forschungsgegenstand. Von den meisten mathematischen Konstanten ist trotz großer Anstrengungen ungeklärt, ob sie rational, irrational-algebraisch oder transzendent sind. Eine besonders einfache Klasse bilden die polylogarithmischen Konstanten, zu denen die Logarithmen und die Werte der Riemannschen Zetafunktion an den positiven ganzzahligen Argumentstellen gehören. Für einen Teil dieser Klasse sind BBP-Reihen bekannt.

Einige wichtige mathematische Konstanten

{| class="wikitable"
|-

! Symbol || Dezimaldarstellung
(OEIS-Link) || Name und Formel || Zahlentyp || Erstmals beschrieben || Zahl bekannter Dezimalstellen || Beschreibung

|-
| bgcolor=#d0f0d0 align=center |
|| = 1.
| align="center" | Eins
| align="center" | ganz
| align="center" |
| align="center" | (∞)

| Neutrales Element der Multiplikation

|-
| bgcolor=#d0f0d0 align=center |
|| = 3,14159 26535 89793 23846 …
(A000796)
| align="center" | Kreiszahl,
Archimedes-Konstante,
ludolphsche Zahl
| align="center" | transzendentFerdinand von Lindemann: [http://www.archive.org/stream/mathematischean54behngoog#page/n221 Ueber die Zahl π] (April und Juni 1882), Mathematische Annalen 20, 1882, S. 213–225
berechenbar
| align="center" | 2000 v. Chr.
| align="center" | 5·10¹² [http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/Records.html Constants and Records of Computation] von Xavier Gourdon und Pascal Sebah, 12. August 2010 (englisch)

| Verhältnis des Umfangs zum Durchmesser eines Kreises

|-
| bgcolor=#d0f0d0 align=center |
|| = 1,41421 35623 73095 04880 …
(A002193)
| align="center" | Quadratwurzel von 2,
Konstante von Pythagoras
| align="center" | irrational
algebraisch
| align="center" | 800 v. Chr.
| align="center" | 10¹²

| Verhältnis der Diagonalen zur Kantenlänge eines Quadrates; positive Lösung von x² = 2

|-
| bgcolor=#d0f0d0 align=center |

√3

|| = 1,73205 08075 68877 29352 …
(A002194)
| align="center" | Quadratwurzel von 3,
Konstante von Theodorus
| align="center" | irrational
algebraisch
| align="center" | 800 v. Chr.
| align="center" | 1,6·10⁸ [http://numberworld.org/constants.html Mathematical Constants - Millions of Digits] von Alexander J. Yee (englisch)

| Verhältnis der räumlichen Diagonalen zur Kantenlänge eines Würfels; positive Lösung von x² = 3

|-
| bgcolor=#d0f0d0 align=center |

0

|| = 0.
| align="center" | Null
| align="center" | ganz
| align="center" | um 700 v. Chr. bei den Babyloniern
| align="center" | (∞)

| Neutrales Element der Addition

|-
| bgcolor=#d0f0d0 align=center |

φ, τ

|| = 1,61803 39887 49894 84820 …
(A001622)
| align="center" | Goldener Schnitt: $\backslash textstyle\backslash frac\{1+\backslash sqrt\{5\}\}\{2\}$
| align="center" | irrational
algebraisch
| align="center" | 250 v. Chr.
| align="center" | 10¹²

| Größenverhältnis, das vielfach näherungsweise in der belebten und unbelebten Natur auftritt; positive Lösung von x² = x+1

|-
| bgcolor=#d0f0d0 align=center |

i

|| = i.
| align="center" | Imaginäre Einheit
| align="center" | komplex
algebraisch
| align="center" | um 1540
| align="center" | (∞)

| Lösung von x² = −1

|-
| bgcolor=#d0f0d0 align=center |

e

|| = 2,71828 18284 59045 23536 …
(A001113)
| align="center" | Eulersche Zahl: $\backslash textstyle\backslash sum\backslash limits\_\{k=0\}^\{\backslash infty\}\{\backslash frac1\{k!\}\}$
| align="center" | transzendentCharles Hermite: [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3034n.image.f18 Sur la fonction exponentielle], Comptes rendus des séances de l’Académie des sciences 77, 1873, S. 18–24 74–79 226–233 285–293 (französisch)
berechenbar
| align="center" | 1618
1683 Jakob Bernoulli, 1683, laut John J. O’Connor, Edmund F. Robertson: [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/e.html The number e], September 2001 (englisch)
| align="center" | 10¹²

| Basis des natürlichen Logarithmus

|-
| bgcolor=#d0f0d0 align=center |

γ

|| = 0,57721 56649 01532 86060 …
(A001620)
| align="center" | Euler-Mascheroni-Konstante:
$\backslash textstyle\backslash lim\backslash limits\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash Bigl(\backslash sum\backslash limits\_\{k=1\}^n\backslash !\backslash frac1\{k\}\; -\; \backslash ln\; n\backslash Bigr)$
| align="center" |
| align="center" | 1734 Leonhard Euler: [http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E043.html De progressionibus harmonicis observationes] (11. März 1734), Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 7, 1740, S. 150–161 (lateinisch; „C=0,577218“ auf S. 157)
| align="center" | 2,9844·10¹⁰

| Fläche zwischen der Hyperbel 1/x und der Treppe 1/⌊�142�x�143�⌋ für x ≥ 1

|-
| bgcolor=#d0f0d0 align=center |

ζ(3)

|| = 1,20205 69031 59594 28539 …
(A002117)
| align="center" | Apéry-Konstante: $\backslash textstyle\backslash sum\backslash limits\_\{k=1\}^\backslash infty\backslash frac1\{k^3\}$
| align="center" | irrationalRoger Apéry: Irrationalité de ζ(2) et ζ(3), Astérisque 61, 1979, S. 11–13 (französisch)
| align="center" | 1735 Leonhard Euler: [http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E047.html Inventio summae cuiusque seriei ex dato termino generali] (13. Oktober 1735), Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 8, 1741, S. 9–22 (lateinisch; „1,202056903159594“ auf S. 21)
| align="center" | 3,1026·10¹⁰

| Wert ζ(3) der riemannschen Zetafunktion an der Stelle 3; Kehrwert der asymptotischen Wahrscheinlichkeit, dass 3 zufällig gewählte natürliche Zahlen teilerfremd sind

|-
| bgcolor=#d0f0d0 align=center |

E_B

|| = 1,60669 51524 15291 76378 …
(A065442)
| align="center" | Erdős-Borwein-Konstante:
$\backslash textstyle\backslash sum\backslash limits\_\{n=1\}^\backslash infty\backslash frac1\{2^n-1\}$
| align="center" | irrationalPaul Erdős: On arithmetical properties of Lambert series (8. Juli 1948), The Journal of the Indian Mathematical Society 12, 1948, S. 63–66 (englisch)
| align="center" | 1749 Leonhard Euler: [http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E190.html Consideratio quarumdam serierum, quae singularibus proprietatibus sunt praeditae] (19. Juni 1749/26. Januar 1750), Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 3, 1753, S. 86–108 (lateinisch; „s=1,606695152415291“ auf S. 108)
| align="center" | 2000 ([http://www.research.att.com/~njas/sequences/b065442.txt OEIS])

| Summe der Kehrwerte aller Mersenne-Zahlen

|-
| bgcolor=#d0f0d0 align=center |

μ

|| = 1,45136 92348 83381 05028 …
(A070769)
| align="center" | Ramanujan-Soldner-Konstante
| align="center" |
| align="center" | 1792 Lorenzo Mascheroni: Adnotationes ad calculum integralem Euleri/ In quibus nonnulla Problemata ab Eulero proposita resolvuntur/ Pars altera. Petrus Galeatius, Ticini 1792 (lateinisch; „z=1,45137“ auf [http://books.google.com/books?id=XkgDAAAAQAAJ&hl=de&pg=RA1-PA17 S. 17])
1809 Johann Georg Soldner: Théorie et tables d’une nouvelle fonction transcendante, Lindauer, München 1809, [http://books.google.de/books?id=g4Q_AAAAcAAJ&pg=PA42 S. 42] (französisch)
| align="center" | 75.500

| Nullstelle des Integrallogarithmus

|-
| bgcolor=#d0f0d0 align=center |

ϖ

|| = 2,62205 75542 92119 81046 …
(A062539)
| align="center" | Lemniskatische Konstante:
$\backslash textstyle\; 2\backslash int\_0^1\backslash frac\{\backslash mathrm\; dt\}\{\backslash sqrt\{1-t^4\}\}$
| align="center" | transzendentTheodor Schneider: [http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002278537 Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale] (11. März 1936), Mathematische Annalen 113, 1937, S. 1–13
berechenbar
| align="center" | 1798 Carl Friedrich Gauß, 1798
| align="center" | 10¹⁰ [http://ja0hxv.calico.jp/pai/estart.html PI WORLD of JA0HXV] von Shigeru Kondo, 12. Januar 2010 (englisch; berechnet wurde 2ϖ)

| Analogon zu π für die Lemniskate

|-
| bgcolor=#d0f0d0 align=center |

B_L

|| = 1,08366.
| align="center" | Legendre-Konstante
| align="center" | (rational)
| align="center" | 1808 Adrien-Marie Legendre: Essai sur la théorie des nombres, Duprat, Paris 1798, [http://www.archive.org/stream/essaitheorienomb00legerich#page/n47/mode/2up S. 19]; 2. Auflage, Courcier, Paris 1808, [http://books.google.de/books?id=ZHYAAAAAMAAJ&pg=PA394 S. 394] (französisch)
| align="center" | (5)

| aus Legendres Abschätzung x / (ln x − 1,08366) der Anzahl der Primzahlen ≤ �170�x�171�; asymptotisch ist 1 korrekt

|-
| bgcolor=#d0f0d0 align=center |
|| = 0,66274 34193 49181 58097 …
(A033259)
| align="center" | Grenzwert von Laplace
| align="center" |
| align="center" | 1827 Pierre-Simon Laplace: Traité de mécanique céleste (Band 5, Anhang), Bachelier, Paris 1827, [http://www.archive.org/stream/oeuvrescomplte05lapluoft#page/478/mode/2up S. 479] (französisch)

Félix Tisserand: Traité de mécanique céleste (Band 1), Gauthier-Villars, Paris 1889, [http://www.archive.org/stream/traitdemcani01tissuoft#page/262/mode/2up S. 262] (französisch)
| align="center" | 500 [http://pi.lacim.uqam.ca/piDATA/laplace.txt The Laplace limit onstant] bei Plouffe’s Inverter (englisch)

| maximale Exzentrizität, für die die Laplace-Reihe zur Lösung der Kepler-Gleichung konvergiert

|-
| bgcolor=#d0f0d0 align=center |

G

|| = 0,91596 55941 77219 01505 …
(A006752)
| align="center" | Catalansche Konstante:
$\backslash textstyle\backslash sum\backslash limits\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash frac\{(-1)^n\}\{(2n+1)^2\}$
| align="center" |
| align="center" | 1832 Th. Clausen: Über die Function $\backslash scriptstyle\; \backslash sin\; \backslash varphi\; +\; \backslash frac\{1\}\{2^2\}\; \backslash sin\; 2\backslash varphi\; +\; \backslash frac\{1\}\{3^2\}\; \backslash sin\; 3\backslash varphi\; +\; \backslash text\{etc.\}$ (3. März 1832), Journal für die reine und angewandte Mathematik 8, 1832, [http://books.google.de/books?id=3wUPAAAAIAAJ&pg=PA298 S. 298–300] („0,91596 55941 772190“ auf S. 300)
1864 E. Catalan: Mémoire sur la transformation des séries, et sur quelques intégrales définies, Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences 59, 1864, [http://books.google.de/books?id=LXZFAAAAcAAJ&pg=PA618 S. 618–620] (französisch; „0,915 965 594 177 21“ auf S. 620)
| align="center" | 3,1026·10¹⁰

| Wert β(2) der Dirichletschen Betafunktion an der Stelle 2

|-
| bgcolor=#d0f0d0 align=center |

M₁

|| = 0,26149 72128 47642 78375 …
(A077761)
| align="center" | Meissel-Mertens-Konstante:
$\backslash textstyle\backslash lim\backslash limits\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash Bigl(\backslash !\backslash sum\backslash limits\_\{p\backslash leq\; n\; \backslash atop\; p\backslash ;\backslash text\{prim\}\}\backslash !\backslash !\backslash frac1\{p\}\; -\; \backslash ln\backslash ln\; n\backslash Bigr)$
| align="center" |
| align="center" | 1866 Ernst Meissel, Notiz, Nachr. Provinzial-Gewerbeschule Iserlohn, 1866 (im Nachlass)
1873 Franz Mertens: [http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002155656 Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie] (20. Juli 1873), Journal für die reine und angewandte Mathematik 78, 1874, S. 46–62
| align="center" | 8010

| Primzahl-Analogon zur Euler-Mascheroni-Konstante

|-
| bgcolor=#d0f0d0 align=center |

A

|| = 1,28242 71291 00622 63687 …
(A074962)
| align="center" | Glaisher-Kinkelin-Konstante:
$\backslash textstyle\backslash exp(\backslash frac1\{12\}-\backslash zeta\text{'}(-1))$
| align="center" |
| align="center" | 1856 Hermann Kinkelin: [http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002150824 Ueber eine mit der Gammafunction verwandte Transcendente und deren Anwendung auf die Integralrechnung] (Juli 1856), Journal für die reine und angewandte Mathematik 57, 1860, S. 122–138
1878 J. W. L. Glaisher: [http://www.archive.org/stream/messengermathem01glaigoog#page/n57 On the Product 1¹.2².3³...nⁿ], The Messenger of Mathematics 7, 1878, S. 43–47 (englisch; „A=1·28242 7130“ auf S. 43)
| align="center" | 20.000 [http://mpmath.googlecode.com/svn/data/glaisher.txt 20,000 digits of the Glaisher-Kinkelin constant] beim Projekt mpmath (englisch)

| tritt bei der Auswertung von Integralen und Reihensummen auf

|-
| bgcolor=#d0f0d0 align=center |

C

|| = 0,64341 05462 88338 02618 …
(A118227)
| align="center" | Cahen-Konstante:
$\backslash textstyle\backslash sum\backslash limits\_\{k=0\}^\backslash infty\backslash !\backslash frac\{(-1)^k\}\{S\_k-1\}$ mit
| align="center" | transzendentJ. Les Davison, Jeffrey Shallit: Continued fractions for some alternating series (17. Oktober 1990), Monatshefte für Mathematik 111, 1991, S. 119–126 (englisch)
berechenbar
| align="center" | 1891 Eugène Cahen: [http://www.archive.org/stream/s3nouvellesannal10pari#page/508/mode/2up Note sur un développement des quantités numériques, qui présente quelque analogie avec celui en fractions continues], Nouvelles Annales de Mathématiques 10, 1891, S. 508–514 (französisch)
| align="center" | 4000 [http://pi.lacim.uqam.ca/piDATA/cahen.txt The Cahen constant to 4000 digits] bei Plouffe’s Inverter (englisch)

| transzendente Zahl mit einfachem Bildungsgesetz für die Teilnenner der Kettenbruchentwicklung

|-
| bgcolor=#d0f0d0 align=center |

K

|| = 2,58498 17595 79253 21706 …
(A062089)
| align="center" | Sierpiński-Konstante:
$\backslash pi\; (2\; \backslash gamma\; +\; 4\; \backslash ln\backslash Gamma(\backslash tfrac\{3\}\{4\})\; -\; \backslash ln\backslash pi)$
| align="center" |
| align="center" | 1907 Wacław Sierpiński: [http://www.archive.org/stream/pracematematycz00dickgoog#page/n289 O sumowaniu szeregu $\backslash scriptstyle\backslash sum\_\{n>a\}^\{n\backslash leq\; b\}\backslash tau(n)f(n)$, gdzie τ(n) oznacza liczbę rozkładów liczby n na sumę kwadratów dwóch liczb całkowitych] (Über die Summierung der Reihe $\backslash scriptstyle\backslash sum\_\{n>a\}^\{n\backslash leq\; b\}\backslash tau(n)f(n)$, wo τ(n) die Anzahl der Darstellungen von n als Summe von zwei Quadraten bezeichnet), Prace matematyczno-fizyczne 18, 1907, S. 1–59 (polnisch; „K=2,5849817596“ auf S. 27)
| align="center" | 5000 ([http://www.research.att.com/~njas/sequences/b062089.txt OEIS])

| tritt bei der Abschätzung von Summen über τ(n) ƒ(n) auf, wobei τ(n) die Anzahl der Paare (a,b) ganzer Zahlen mit a²+b² = n ist

|-
| bgcolor=#d0f0d0 align=center |

K

|| = 0,76422 36535 89220 66299 …
(A064533)
| align="center" | Landau-Ramanujan-Konstante:
$\backslash textstyle\backslash frac1\{\backslash sqrt\{2\}\}\backslash !\backslash !\backslash !\backslash !\backslash prod\backslash limits\_\{p\backslash ;\backslash text\{prim\}\; \backslash atop\; \backslash equiv\; 3\backslash ;(\backslash text\{mod\}\backslash ;4)\}\backslash !\backslash !\backslash !\backslash !\backslash bigl(1-\backslash frac1\{p^2\}\backslash bigr)^\{-1/2\}$
| align="center" |
| align="center" | 1908 Edmund Landau: [http://www.archive.org/stream/archivdermathem37unkngoog#page/n324 Über die Einteilung der positiven ganzen Zahlen in vier Klassen nach der Mindestzahl der zu ihrer additiven Zusammensetzung erforderlichen Quadrate] (21. Juni 1908), Archiv der Mathematik und Physik 13, 1908, S. 305–312
| align="center" | 125.079 ([http://oeis.org/A064533/a064533_1.txt OEIS])

| die Anzahl der Zahlen ≤ x, die Summe von zwei Quadratzahlen sind, ist ~ K x/√ln(x)

|-
| bgcolor=#d0f0d0 align=center |

G

|| = 1,01494 16064 09653 62502 …
(A143298)
| align="center" | Gieseking-Konstante:
$\backslash textstyle\backslash int\_0^\{2\backslash pi/3\}\backslash ln(2\backslash cos(x/2))\backslash ,\backslash mathrm\; dx$
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" | 105 (OEIS)

| maximales Volumen eines hyperbolischen TetraedersJohn W. Milnor: [http://www.ams.org/bull/1982-06-01/S0273-0979-1982-14958-8/home.html Hyperbolic geometry: The first 150 years], Bulletin of the AMS 6, 1982, S. 9–24 (englisch)

|-
| bgcolor=#d0f0d0 align=center |

β

|| = 0,28016 94990 23869 13303 …
(A073001)
| align="center" | Bernstein-Konstante
| align="center" |
| align="center" | 1913 Serge Bernstein: [http://www.kryakin.com/files/Acta_Mat_(2_55)/acta56_1/37/37_01.pdf Sur la meilleure approximation de |x| par des polynomes de degrés donnés] (PDF-Datei, 2,2 MB; April 1913), Acta Mathematica 37, 1914, S. 1–57 (französisch)
| align="center" | 50 (OEIS)

| der Fehler der besten gleichförmigen Approximation von |x| auf [-1,1] durch Polynome von geradem Grad n ist ~ β/n

|-
| bgcolor=#d0f0d0 align=center |

B₂

|| = 1,90216 058…
(A065421)
| align="center" | Brunsche Konstante:
$\backslash textstyle\backslash sum\backslash limits\_\{p,\backslash ,p+2\backslash ;\backslash text\{prim\}\}\backslash !\backslash bigl(\backslash frac1\{p\}\; +\; \backslash frac1\{p+2\}\backslash bigr)$
| align="center" |
| align="center" | 1919 Viggo Brun: [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k486270d.image.f110 La série $\backslash scriptstyle\backslash frac1\{5\}\; +\; \backslash frac1\{7\}\; +\; \backslash frac1\{11\}\; +\; \backslash frac1\{13\}\; +\; \backslash frac1\{17\}\; +\; \backslash frac1\{19\}\; +\; \backslash frac1\{29\}\; +\; \backslash frac1\{31\}\; +\; \backslash frac1\{41\}\; +\; \backslash frac1\{43\}\; +\; \backslash frac1\{59\}\; +\; \backslash frac1\{61\}\; +\; \backslash ldots$ ou les dénominateurs sont «nombres premiers jumeaux» est convergente ou finie], Bulletin des Sciences Mathématiques 43, 1919, S. 100–104 124–128 (französisch)
| align="center" | 9 unter Hardy-Littlewood-Vermutung u. a.

| Summe der Kehrwerte aller Primzahlzwillinge

|-
| bgcolor=#d0f0d0 align=center |

Π₂, C₂

|| = 0,66016 18158 46869 57392 …
(A005597)
| align="center" | Primzahlzwillingskonstante:
$\backslash textstyle\backslash prod\backslash limits\_\{p>2\backslash atop\; p\backslash ;\backslash text\{prim\}\}\backslash !\backslash !\backslash bigl(1\backslash !-\backslash !\backslash frac\{1\}\{(p-1)^2\}\backslash bigr)$
| align="center" |
| align="center" | 1922 G. H. Hardy, J. E. Littlewood: [http://www.kryakin.com/files/Acta_Mat_(2_55)/acta56_1/44/44_01.pdf Some problems of ‘Partitio numerorum’; III: On the expression of a number as a sum of primes] (PDF-Datei, 2,5 MB; Februar 1922), Acta Mathematica 44, 1923, S. 1–70 (englisch)
| align="center" | 5020

| die Anzahl der Primzahlzwillinge ≤ x ist laut Hardy-Littlewood-Vermutung $\backslash textstyle\backslash sim\; 2\backslash ,C\_2\backslash int\_2^x\backslash !\backslash frac\{\backslash mathrm\; dt\}\{(\backslash ln\; t)^2\}$

|-
| bgcolor=#d0f0d0 align=center|

𝔏

|| > 0,5 + 10⁻³³⁵
≤ 0,54325 89653 42976 70695 …
(A081760)
| align="center" | Landau-Konstante
| align="center" |
| align="center" | 1929 Edmund Landau: [http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002371413 Über die Blochsche Konstante und zwei verwandte Weltkonstanten] (22. März 1929), Mathematische Zeitschrift 30, Dezember 1929, S. 608–634 („“ auf S. 611, „$\backslash scriptstyle\backslash mathfrak\; L\backslash ;\backslash geq\backslash ;0,43$“ auf S. 614)
| align="center" | 1 Lars Ahlfors: [http://www.ams.org/journals/tran/1938-043-03/S0002-9947-1938-1501949-6/home.html An extension of Schwarz’s lemma] (1. April 1937), Transactions of the AMS 43, Mai 1938, S. 359–364 (englisch; „L≥1/2“ auf S. 364)

| Maximum, so dass für jede holomorphe Funktion ƒ mit ƒ ′(0) = 1 im Bild der Einheitskreisscheibe eine Kreisscheibe mit Radius 𝔏 liegt

|-
| bgcolor=#d0f0d0 align=center |

λ, μ

|| = 0,62432 99885 43550 87099 …
(A084945)
| align="center" | Golomb-Dickman-Konstante:
$\backslash textstyle\backslash int\_0^1\; e^\{\{\backslash rm\; li\}(x)\}\backslash mathrm\; dx$
| align="center" |
| align="center" | 1930 Karl Dickman: On the frequency of numbers containing prime factors of a certain relative magnitude, Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik 22A, 1930, S. 1–14 (englisch)
1964 Solomon W. Golomb: [http://www.ams.org/bull/1964-70-06/S0002-9904-1964-11224-6/home.html Random permutations] (8. Juni 1964), Bulletin of the AMS 70, 1964, S. 747 (englisch; „λ=.62432965“)
| align="center" | 1659 [http://tech.groups.yahoo.com/group/primeform/message/10249?var=0 Titanic Golomb-Dickman prime], David John Broadhurst, 2. April 2010 (englisch)

| asymptotische mittlere relative Länge des längsten Zykels einer Permutation

|-
| bgcolor=#d0f0d0 align=center |

K₀

|| = 2,68545 20010 65306 44530 …
(A002210)
| align="center" | Chintschin-Konstante:
$\backslash textstyle\backslash prod\backslash limits\_\{n=1\}^\backslash infty\backslash bigl(1+\backslash frac1\{n(n+2)\}\backslash bigr)^\{\backslash log\_2\; n\}$
| align="center" |
| align="center" | 1934 A. Khintchine: [http://www.numdam.org/item?id=CM_1935__1__361_0 Metrische Kettenbruchprobleme] (29. März 1934), Compositio Mathematica 1, 1935, S. 361–382 („2,6…“ auf S. 376)
| align="center" | 110.000

| fast überall das geometrische Mittel der Teilnenner der Kettenbruchentwicklung

|-
| bgcolor=#d0f0d0 align=center |

m

|| = 1,18656 91104 15625 45282 …
(A100199)
| align="center" | Chintschin-Lévy-Konstante:
$\backslash pi^2\; /\; (12\backslash ,\backslash ln\; 2)$
| align="center" |
| align="center" | 1935 Paul Lévy: [http://www.numdam.org/item?id=CM_1936__3__286_0 Sur le développement en fraction continue d’un nombre choisi au hasard] (Juli 1935), Compositio Mathematica 3, 1936, S. 286–303 (französisch)
| align="center" | 3,1026·10¹⁰ [http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/Records.html Constants and Records of Computation] von Xavier Gourdon und Pascal Sebah, 23. März 2010 (englisch; berechnet wurden π und ln 2)

| fast überall der Grenzwert für n → ∞ von (ln q_n)/n, wobei q_n der Nenner des n-ten Näherungsbruchs ist

|-
| bgcolor=#d0f0d0 align=center |

A, θ

|| = 1,30637 78838 63080 69046 …
(A051021)
| align="center" | Mills-Konstante
| align="center" |
| align="center" | 1946 William H. Mills: [http://www.ams.org/bull/1947-53-06/S0002-9904-1947-08849-2/home.html A prime-representing function] (23. Dezember 1946), Bulletin of the AMS 53, 1947, S. 604 (englisch)
| align="center" | 6850 Chris K. Caldwell, Yuanyou Cheng: [http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL8/Caldwell/caldwell78.html Determining Mills’ Constant and a Note on Honaker’s Problem] (15. August 2005), Journal of Integer Sequences 8, 2005, Nr. 05.4.1 (englisch) unter Riemann-Hypothese

| kleinste Zahl A > 0, so dass ⌊A^3ⁿ⌋ für jedes n = 1, 2, 3, … eine Primzahl ist

|-
| bgcolor=#d0f0d0 align=center |

Λ

|| > −2,7 × 10⁻⁹
< 0,5
| align="center" | De-Bruijn-Newman-Konstante
| align="center" |
| align="center" | 1948 N. G. de Bruijn: [http://alexandria.tue.nl/repository/freearticles/597490.pdf The roots of trigonometric integrals] (PDF-Datei, 1,4 MB; 16. Juli 1948), Duke Mathematical Journal 17, September 1950, S. 197–226 (englisch)
1976 Charles M. Newman: [http://www.ams.org/journals/proc/1976-061-02/S0002-9939-1976-0434982-5/home.html Fourier transforms with only real zeros] (Januar/Mai 1976), Proceedings of the AMS 61, Dezember 1976, S. 245–251 (englisch)
| align="center" | 0

| Minimum, so dass eine bestimmte komplexe Funktion H_Λ nur reelle Nullstellen hat; „Λ ≤ 0“ ist äquivalent zur Riemann-Hypothese

|-
| bgcolor=#d0f0d0 align=center |

W

|| = 1,53960 07178 39002 03869 …
(A118273)
| align="center" | Liebs Eiswürfelkonstante:
$(4/3)^\{3/2\}$
| align="center" | irrational
algebraisch
| align="center" | 1967 Elliott H. Lieb: The residual entropy of square ice (22. Mai 1967), Physical Review 162, Oktober 1967, S. 162–172 (englisch)
| align="center" | 1,6·10⁸ [http://numberworld.org/constants.html Mathematical Constants - Millions of Digits] von Alexander J. Yee (englisch; berechnet wurde √3 = ⁹⁄₈ W)

| Restentropie von Eis ist N k ln W in einem exakt lösbaren 2D-Modell in der statistischen Physik

|-
| bgcolor=#d0f0d0 align=center |
|| = 1,70521 11401 05367 76428 …
(A033150)
| align="center" | Niven-Konstante:
$\backslash textstyle\; 1\; +\; \backslash sum\backslash limits\_\{k=2\}^\backslash infty\backslash bigl(1-\backslash frac1\{\backslash zeta(k)\}\backslash bigr)$
| align="center" |
| align="center" | 1968 Ivan Niven: [http://www.ams.org/journals/proc/1969-022-02/S0002-9939-1969-0241373-5/home.html Averages of exponents in factoring integers] (18. Juni 1968), Proceedings of the AMS 22, 1969, S. 356–360 (englisch)
| align="center" | 256 [http://pi.lacim.uqam.ca/piDATA/niven.txt The Niven constant is 1 + Sum(1-1/Zeta(n),n=2..infinity)] bei Plouffe’s Inverter (englisch)

| mittlerer maximaler Exponent der Primfaktorzerlegungen der Zahlen 1, 2, 3, …

|-
| bgcolor=#d0f0d0 align=center |

λ

|| = 0,30366 30028 98732 65859 …
(A038517)
| align="center" | Gauß-Kusmin-Wirsing-Konstante
| align="center" |
| align="center" | 1973 Eduard Wirsing: [http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa24/aa2456.pdf On the theorem of Gauss-Kusmin-Lévy and a Frobenius-type theorem for function spaces] (PDF-Datei, 796 kB; 31. Januar 1973), Acta Arithmetica 24, 1974, S. 507–528 (englisch; „λ = 0.3036630029 …“ auf S. 509)
| align="center" | 468

| tritt bei der Beschreibung der Konvergenz der Zahlenverteilung in Kettenbruchentwicklungen auf

|-
| bgcolor=#d0f0d0 align=center |

C

|| = 1,46707 80794 33975 47289 …
(A086237)
| align="center" | Porter-Konstante:
$\backslash scriptstyle\backslash frac\{6\backslash ln\; 2\}\{\backslash pi^2\}\backslash bigl(3\backslash ln\; 2\; +\; 4\backslash gamma\; -\; \backslash frac\{24\}\{\backslash pi^2\}\backslash zeta\text{'}(2)\; -\; 2\backslash bigr)\; -\; \backslash frac1\{2\}$
| align="center" |
| align="center" | 1974 J. W. Porter: On a theorem of Heilbronn (20. Dezember 1974), Mathematika 22, Juni 1975, S. 20–28 (englisch)
| align="center" | 256 [http://pi.lacim.uqam.ca/piDATA/porter.txt The Porter constant] bei Plouffe’s Inverter (englisch)

| tritt in Formeln der asymptotischen mittleren Divisionsanzahl im Euklidischen Algorithmus auf

|-
| bgcolor=#d0f0d0 align=center |

Ω

|| ≈ 0,00787 49969 97812 3844
(A100264)
| align="center" | Chaitinsche Konstante
| align="center" | nicht-berechenbar
| align="center" | 1975 Gregory Chaitin: [http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.7.7920&rep=rep1&type=pdf A theory of program size formally identical to information theory] (PDF-Datei, 249 kB; April/Dezember 1974), Journal of the ACM 22, Juli 1975, S. 329–340 (englisch)
| align="center" | (64 bit)

| Wahrscheinlichkeit, mit der eine universelle Turingmaschine bei beliebiger Eingabe anhält

|-
| bgcolor=#d0f0d0 align=center |

α

|| = 0,80939 40205 40639 13071 …
(A085291)
| align="center" | Alladi-Grinstead-Konstante:
$\backslash textstyle\backslash exp\backslash Bigl(\backslash !\backslash Bigl(\backslash sum\backslash limits\_\{k=2\}^\backslash infty\backslash frac1\{k\}\backslash ln\backslash frac\{k\}\{k-1\}\backslash Bigr)-1\backslash Bigr)$
| align="center" |
| align="center" | 1977 Krishnaswami Alladi, Charles Grinstead: On the decomposition of n! into prime powers, Journal of Number Theory 9, November 1977, S. 452–458 (englisch)
| align="center" | 102 (OEIS)

| in n! als Produkt von n Primzahlpotenzen wächst der größtmögliche kleinste Faktor logarithmisch ~ α ln n

|-
| bgcolor=#d0f0d0 align=center |

δ

|| = 4,66920 16091 02990 67185 …
(A006890)
| align="center" | 1. Feigenbaum-Konstante
| align="center" |
| align="center" | 1979 Mitchell J. Feigenbaum: [http://signallake.com/innovation/feigenbaum052979.pdf The universal metric properties of nonlinear transformations] (PDF-Datei, 1,39 MB; 29. Mai 1979), Journal of Statistical Physics 21, Dezember 1979, S. 669–706 (englisch; „α = 2.502907876“ auf S. 703, „δ = 4.6692“ auf S. 704)
| align="center" | 1019 [http://pi.lacim.uqam.ca/piDATA/feigenbaum.txt Feigenbaum constants to 1018 decimal places] bei Plouffe’s Inverter, 22. März 1999 (englisch)

| Übergang ins Chaos: Bifurkationsgeschwindigkeit

|-
| bgcolor=#d0f0d0 align=center |

α

|| = 2,50290 78750 95892 82228 …
(A006891)
| align="center" | 2. Feigenbaum-Konstante
| align="center" |
| align="center" | 1979
| align="center" | 1019

| Übergang ins Chaos: Reduktionsparameter

|-
| bgcolor=#d0f0d0 align=center |

F

|| = 2,80777 02420 28519 36522 …
(A058655)
| align="center" | Fransén-Robinson-Konstante:
$\backslash textstyle\backslash int\_0^\backslash infty\backslash !\backslash frac1\{\backslash Gamma(x)\}\backslash ,\backslash mathrm\; dx$
| align="center" |
| align="center" | 1978 Arne Fransén: Accurate determination of the inverse gamma integral (25. Oktober 1978), BIT Numerical Mathematics 19, März 1979, S. 137–138 (englisch)
| align="center" | 1025

| Fläche zwischen der x-Achse und der Kurve 1/Γ(�350�x�351�) für x > 0

|-
| bgcolor=#d0f0d0 align=center |

Λ

|| = 1,09868 58055 25187 01…
(A086053)
| align="center" | Lengyel-Konstante
| align="center" |
| align="center" | 1984 Tamás Lengyel: On a recurrence involving Stirling numbers, European Journal of Combinatorics 5, 1984, S. 313–321 (englisch)
| align="center" | 18 (OEIS)

| tritt bei der asymptotischen Analyse der Anzahl der Ketten vom kleinsten zum größten Element im Verband der Partitionen auf

|-
| bgcolor=#d0f0d0 align=center |

σ

|| = 0,35323 63718 54995 98454 …
(A085849)
| align="center" | Hafner-Sarnak-McCurley-Konstante:
$\backslash textstyle\backslash prod\backslash limits\_\{p\backslash ;\backslash text\{prim\}\}\backslash !\backslash !\backslash !\backslash Bigl(\backslash !1\backslash !-\backslash !\backslash bigl(1\backslash !-\backslash !\backslash !\backslash prod\backslash limits\_\{k=1\}^\backslash infty(1\backslash !-\backslash !\backslash frac1\{p^k\}\backslash !)\backslash bigr)^\{\backslash !2\}\backslash !\backslash Bigr)$
| align="center" |
| align="center" | 1993 James Lee Hafner, Peter Sarnak, Kevin McCurley: [http://www.mccurley.org/papers/relprime.pdf Relatively prime values of polynomials] (PDF-Datei, 174 kB) in Marvin Knopp, Mark Sheingorn (Hrsg.): A tribute to Emil Grosswald: number theory and related analysis, AMS, Providence 1993, S. 437–443 (englisch)
| align="center" | 40 (OEIS)

| asymptotische Wahrscheinlichkeit, dass die Determinanten von zwei Ganzzahl-Matrizen teilerfremd sind

|-
| bgcolor=#d0f0d0 align=center |

B

|| = 1,45607 49485 82689 67139 …
(A072508)
| align="center" | Backhouse-Konstante
| align="center" |
| align="center" | 1995
| align="center" | 1300 [http://www.worldwideschool.org/library/books/sci/math/MiscellaneousMathematicalConstants/chap9.html The Backhouse constant calculated by Philippe Flajolet INRIA Paris to 1300 places] von Simon Plouffe, August 1998 (englisch)

| −1/B ist Nullstelle der Potenzreihe mit 1 und den Primzahlen als Koeffizienten

|-
| bgcolor=#d0f0d0 align=center |

K

|| = 1,13198 82487 943…
(A078416)
| align="center" | Viswanath-Konstante
| align="center" |
| align="center" | 1997 Divakar Viswanath: [http://www.ecommons.cornell.edu/bitstream/1813/7304/1/97-1650.pdf Random Fibonacci sequences and the number 1.13198824…] (PDF-Datei, 484 kB), 30. September 1997 (englisch)
| align="center" | 13 (OEIS)

| Basis des asymptotisch exponentiellen Wachstums zufälliger Fibonacci-Folgen

|-
| bgcolor=#d0f0d0 align=center |

β*

|| = 0,70258 …
(A118288)
| align="center" | Embree-Trefethen-Konstante
| align="center" |
| align="center" | 1999 Mark Embree, Lloyd N. Trefethen: [http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.33.1658&rep=rep1&type=pdf Growth and decay of random Fibonacci sequences] (PDF-Datei, 382 kB; 18. September 1998), Proceedings of the Royal Society A 455, Juli 1999, S. 2471–2485 (englisch)
| align="center" | 5 (OEIS)
| Grenzkoeffizient verallgemeinerter zufälliger Fibonacci-Folgen

|}

Siehe auch

• Liste besonderer Zahlen
  

  * Smarandache-Konstanten

  Einzelnachweise

Literatur

* Steven R. Finch: Mathematical constants, Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2 (englisch; Finchs Webseite zum Buch mit Errata und Addenda: [http://algo.inria.fr/bsolve/ Mathematical Constants])

Weblinks

* {{MathWorld|title=Constants|urlname=topics/Constants}}
* [http://pi.lacim.uqam.ca/eng/ Plouffe’s inverter] von Simon Plouffe (englisch; Eingabe eines Zahlenwerts und Suche nach der Konstanten)
* [http://web.archive.org/web/20071014044502/http://veling.nl/anne/templars/constants.html Earliest Uses of Symbols for Constants] (Herkunft der Symbole) von Anne Veling, 22. August 1997 (englisch)
* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Numbers, constants and computation] von Xavier Gourdon, Pascal Sebah (englisch)
* [http://numberworld.org/ numberworld.org] von Alexander J. Yee (englisch)

* [http://ja0hxv.calico.jp/pai/estart.html PI WORLD of JA0HXV] von Shigeru Kondo (englisch)

Kategorie:Zahl
Kategorie:Zahlentheorie

Mathematische Konstanten

af:Wiskundige konstante
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bs:Matematička konstanta
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