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David Hilbert

24.05.2012 @ 18:22, Xqbot,

miniatur|hochkant|David Hilbert (1912)

David Hilbert (* 23. Januar 1862 in KönigsbergConstance Reid Hilbert, Springer Verlag, gibt Wehlau bei Königsberg an; † 14. Februar 1943 in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker. Er gilt als einer der bedeutendsten Mathematiker der Neuzeit. Viele seiner Arbeiten auf dem Gebiet der Mathematik und mathematischen Physik begründeten eigenständige Forschungsgebiete. Seine Vorschläge zu den Grundlagen der Mathematik veranlassten eine kritische Analyse der Begriffsdefinitionen der Mathematik und des mathematischen Beweises. Diese Analysen führten zum Gödelschen Unvollständigkeitssatz, der unter anderem zeigt, dass das sogenannte „Hilbertprogramm“ nicht erfüllt werden kann. Hilberts programmatische Rede auf dem internationalen Mathematikerkongress in Paris im Jahre 1900, in der er eine Liste von 23 mathematischen Problemen vorstellte, beeinflusste die mathematische Forschung des 20. Jahrhunderts nachhaltig.[http://www.sueddeutsche.de/wissen/-geburtstag-des-mathematikers-david-hilbert-schneller-als-einstein-1.1263715 150. Geburtstag des Mathematikers David Hilbert – Schneller als Einstein. In: Süddeutsche Zeitung, 22. Januar 2012] auf: sueddeutsche.de[http://www.zeit.de/2012/03/David-Hilbert Der Einstein der Mathematik. In: Die Zeit, 12. Januar 2012] auf: zeit.de

Leben

Königsberg

Kindheit und Jugendzeit

miniatur|Friedrichskollegium in Königsberg

miniatur|Königliches Wilhelm-Gymnasium (Postkarte)Hilbert wurde als Sohn des Amtsgerichtsrats Otto Hilbert und seiner Frau Maria Theresia, geb. Erdtmann, geboren. Väterlicherseits entstammte er einer alten ostpreußischen Juristenfamilie, die Mutter kam aus einer Königsberger Kaufmannsfamilie. Der Vater wurde als eher einseitiger Jurist beschrieben, der der Laufbahn seines Sohnes kritisch gegenüberstand, während die Mutter vielseitige Interessen hatte, unter anderem auf dem Gebiet der Astronomie und Philosophie sowie der angewandten Mathematik.Otto Blumenthal: Lebensgeschichte. In: David Hilbert. Gesammelte Abhandlungen. Band III, Springer-Verlag, 1970, 2. Auflage, S. 388ff [http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN237834022 digitalisierter Volltext] Er hatte noch eine jüngere Schwester, die jedoch schon im Alter von 28 Jahren verstarb. In seiner Heimatstadt besuchte Hilbert als Schüler zunächst das Friedrichskollegium und wechselte ein Jahr vor dem Abitur auf das mehr naturwissenschaftlich-mathematisch orientierte Wilhelms-Gymnasium. Von seinen schulischen Leistungen ist nichts Bemerkenswertes überliefert, anekdotisch wurde kolportiert, dass der junge Hilbert zwar keine guten Deutschaufsätze schrieb (die hatte manchmal seine Mutter verfasst), jedoch seinen Lehrern mathematische Probleme erklären konnte. Sein Mathematiklehrer von Morstein gab ihm im Abitur die bestmögliche Zeugnisnote und bescheinigte ihm „Gründliches Wissen und die Fähigkeit, die ihm gestellten Aufgaben auf eigenem Wege zu lösen“. Auf seine Schulleistungen angesprochen meinte Hilbert später: „Ich habe mich auf der Schule nicht besonders mit Mathematik beschäftigt, denn ich wußte ja, daß ich das später tun würde.“

Studium, sowie Begegnung und Austausch mit Minkowski und Hurwitz

miniatur|Die Albertus-Universität um 1900 (colorierte Postkarte)Mit dem Sommersemester 1880 begann der 18-jährige Hilbert das Studium der Mathematik an der Albertus-Universität in Königsberg. Die Königsberger Universität konnte damals auf eine glänzende Tradition in der Mathematik zurückblicken und galt in diesem Fach als eine Ausbildungsstätte ersten Ranges.Felix Klein: Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert. S. 112 ff: Die Königsberger Schule. In: Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 24/25. Berlin [u. a.], Springer-Verlag (Reprint 1979) [http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN375425993 digitalisierter Volltext] Hier hatten unter vielen anderen Carl Gustav Jacob Jacobi, Friedrich Wilhelm Bessel, Friedrich Julius Richelot und der Physiker Franz Ernst Neumann gelehrt und gearbeitet. Zu Hilberts Lehrern gehörte der aus Heidelberg kommende Heinrich Weber. Wohl durch Vermittlung Webers verbrachte Hilbert sein zweites Semester in Heidelberg, kehrte danach jedoch nach Königsberg zurück. Weber erkannte und förderte frühzeitig Hilberts mathematische Begabung.

Während des Studiums lernte Hilbert seinen zwei Jahre jüngeren Kommilitonen Hermann Minkowski kennen, der aus einer jüdischen Familie aus Litauen stammte, die nach Ostpreußen eingewandert war. Mit Minkowski verband ihn eine lebenslange enge Freundschaft. 1883 wurde Ferdinand Lindemann der Nachfolger auf dem Lehrstuhl (Ordinariat) von Weber und 1884 wurde Adolf Hurwitz auf den zweiten Mathematik-Lehrstuhl (das Extraordinariat) berufen. Hurwitz war nur 3 Jahre älter als Hilbert und Hilbert sagte später über ihn: „Wir, Minkowski und ich, waren ganz erschlagen von seinem Wissen und glaubten nicht, daß wir es jemals so weit bringen würden.“. Der regelmäßige wissenschaftliche Austausch mit Hurwitz und Minkowski wurde für Hilbert prägend. Im Nachruf auf Hurwitz schrieb Hilbert: „Auf zahlreichen, zeitenweise Tag für Tag unternommenen Spaziergängen haben wir damals während acht Jahren wohl alle Winkel mathematischen Wissens durchstöbert, und Hurwitz mit seinen ebenso ausgedehnten und vielseitigen wie festbegründeten und wohlgeordneten Kenntnissen war uns dabei immer der Führer“.David Hilbert: Adolf Hurwitz. In: Mathem. Annalen Bd. 83, S.161–168 (1921) [http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN237834022 digitalisierter Volltext] Lindemann hatte dagegen nur wenig Einfluss auf Hilbert, er schlug ihm jedoch das Thema seiner Doktorarbeit vor. 1885 wurde Hilbert mit der Arbeit Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunctionen in der Philosophischen Fakultät promoviert. [http://genealogy.math.uni-bielefeld.de/genealogy/id.php?id=7298 David Hilbert] Mathematics Genealogy Project (zugriff=15. April 2010)

Begegnung mit Felix Klein, Habilitation und Professur

miniatur|hochkant|David Hilbert (1886) als Privatdozent in Königsberg

Nach der Promotion begab sich Hilbert im Winter 1885/86 auf eine Studienreise, die ihn zunächst an die Universität Leipzig zu Felix Klein führte. Klein erkannte ebenfalls die hohe Begabung Hilberts und zwischen den beiden entwickelte sich eine intensive wissenschaftliche Korrespondenz. Auf Anraten von Klein hielt sich Hilbert noch für einige Monate in Paris auf. Einen solchen Aufenthalt empfahl Klein allen talentierten Schülern, da er selbst zusammen mit Sophus Lie 1870 in Paris gewesen war, wo er wichtige Anregungen erhalten hatte. Hilbert kam in Kontakt mit vielen bekannten französischen Mathematikern (Charles Hermite, Henri Poincaré, Camille Jordan, Pierre Ossian Bonnet). Den besten Eindruck nahm er von Poincaré und Hermite mit, er zeigte sich aber insgesamt nicht sehr beeindruckt von der französischen Mathematik.Briefe vom 2. April und 21. April 1886 an Felix Klein. In: Der Briefwechsel David Hilbert – Felix Klein (1886–1918). Göttingen, Vandenhoeck & Ruprecht 1985, ISBN 3-525-85457-9

1886 habilitierte sich Hilbert mit einer Arbeit über invariantentheoretische Untersuchungen im binären Formengebiet und wurde Privatdozent. Nachdem Hurwitz 1892 einen Ruf nach Zürich angenommen hatte, wurde Hilbert dessen Nachfolger im Extraordinariat. 1893 folgte Lindemann einem Ruf nach München und Hilbert wurde nun Ordinarius. Hilbert konnte durchsetzen, dass sein Freund Minkowski auf das vakant gewordene Extraordinariat nach Königsberg berufen wurde.

1892 heiratete er die ebenfalls aus Königsberg stammende Käthe Jerosch (1864–1945), mit der er seit langem befreundet gewesen war. Aus der Ehe ging ein Sohn (Franz Hilbert, 1893–1969) hervor.

Göttingen

Die Glanzzeit der Göttinger Mathematik

miniatur|Das Mathematische Institut in Göttingen. Der Neubau wurde 1926–29 aus Mitteln der [[Rockefeller-Stiftung erbaut und am 2. Dezember 1929 von Hilbert und Courant eröffnet.]]1895 erfolgte auf Betreiben von Felix Klein die Berufung an die Universität Göttingen. Das preußische Kultusministerium hatte es sich zum Ziel gesetzt, in Göttingen, gewissermaßen in der Tradition von Carl Friedrich Gauß und Bernhard Riemann, einen Schwerpunkt der mathematischen Forschung aufzubauen. Treibende Kraft war dabei der Staatssekretär Friedrich Althoff, der in diesem Bestreben tatkräftig von Klein unterstützt wurde. Hilbert war damals 33 Jahre alt und Klein wurde vorgeworfen, es sich mit der Berufung eines so jungen Mannes leicht zu machen. Daraufhin entgegnete dieser: „Sie irren, ich berufe mir den Allerunbequemsten.“ Das persönliche Verhältnis von Klein zu Hilbert blieb jedoch auch nach der Berufung freundschaftlich ungetrübt. 1902 konnte Hilbert mittels eines Rufes nach Berlin durchsetzen, dass Minkowski auf das Extraordinariat in Göttingen berufen wurde, womit die beiden befreundeten Mathematiker wieder an einem Ort vereint waren. Der frühe Tod seines Freundes und Arbeitskollegen 1909, im Alter von 44 Jahren, war ein schwerer persönlicher Schlag für Hilbert.siehe hierzu Hilberts Gedächtnisrede, gehalten in der öffentlichen Sitzung der Kgl. Gesellschaft zu Göttingen am 1. Mai 1909 (veröffentlicht: D. Hilbert: Hermann Minkowski. Göttinger Nachrichten, Geschäftliche Mitteilungen 1909, S. 72–101, und Math. Ann. Bd. 68, S. 445–471 (1910), auch enthalten in den Gesammelten Abhandlungen, Bd. 3. [http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN237834022 digitalisierter Volltext]) Nach dessen Tode fungierte Hilbert als Herausgeber seiner Arbeiten unter dem Titel Gesammelte Abhandlungen von Hermann Minkowski.David Hilbert (Hrsg.) unter Mitwirkung von Andreas Speiser und Hermann Weyl: Gesammelte Abhandlungen von Hermann Minkowski, Leipzig und Berlin, Teubner, 1911

Die frühen Jahre in Göttingen waren für Hilbert nicht immer einfach, da in der Kleinstadt Göttingen kein so weltoffener, liberaler Geist wie in Königsberg herrschte. Der Standesdünkel der dortigen Universitätskreise war sehr ausgeprägt. So wurde es zum Beispiel als Skandal empfunden, als Hilbert, der Ordinarius, mit Assistenten in einem Lokal Billard spielte. Albert Einstein gab Jahre später seinem Freund Max Born, der sich zwischen einem Ruf nach Frankfurt oder Göttingen entscheiden musste, den Rat: „Wenn ich mich in die Lage denke, so kommt es mir vor, ich bliebe lieber in Frankfurt. Denn mir wäre es unerträglich, auf einem kleinen Kreis aufgeblasener und meist engherziger (und -denkender) Gelehrter so ganz angewiesen zu sein (kein anderer Verkehr). Denkt daran, was Hilbert ausgestanden hat von dieser Gesellschaft.“Brief vom 3. März 1920 In: Albert Einstein – Max Born Briefwechsel 1916–1955. Verlag Langen/Müller; März 2005; ISBN 3-7844-2997-1 Born entschied sich aber dann doch für Göttingen und gehörte bald zum Freundeskreis von Hilbert, dessen Assistent er bereits gewesen war.

Nach den Anfangsschwierigkeiten lebte sich Hilbert jedoch in Göttingen gut ein und genoss große Verehrung von Seiten seiner Studenten. Über den Eindruck, den er bei den Studenten hinterließ, berichtete sein späterer Doktorand Otto Blumenthal:

{{Zitat|Ich erinnere mich noch genau des ungewohnten Eindrucks, den mir – zweitem Semester – dieser mittelgroße, bewegliche, ganz unprofessoral aussehende, unscheinbar gekleidete Mann mit dem breiten rötlichen Bart machte, der so seltsam abstach gegen Heinrich Webers ehrwürdige, gebeugte Gestalt und Kleins gebietende Erscheinung mit dem strahlenden Blick. […] Hilberts Vorlesungen waren schmucklos. Streng sachlich, mit einer Neigung zur Wiederholung wichtiger Sätze, auch wohl stockend trug er vor, aber der reiche Inhalt und die einfache Klarheit der Darstellung ließen die Form vergessen. Er brachte viel Neues und Eigenes, ohne es hervorzuheben. Er bemühte sich sichtlich, allen verständlich zu sein, er las für die Studenten, nicht für sich. […] Um mit seinen Seminarleuten genau bekannt zu werden führte er sie eine Zeitlang nach jedem Seminar in eine Waldwirtschaft, wo Mathematik gesprochen wurde. […] Ein ausdauernder Fußgänger, machte er mit ihnen allwöchentlich weite Spaziergänge in die Berge Göttingens, da konnte jeder seine Fragen stellen, meist aber sprach Hilbert selbst über seine Arbeiten, die ihn gerade beschäftigten.|ref=}}

In seiner Göttinger Zeit hat Hilbert insgesamt 69 Doktoranden betreut, u. a. (mit Jahr der Promotion): Otto Blumenthal (1898), Felix Bernstein (1901), Hermann Weyl (1908), Richard Courant (1910), Erich Hecke (1910), Hugo Steinhaus (1911), Wilhelm Ackermann (1925). Viele seiner ehemaligen Schüler wurden später Lehrstuhlinhaber.

Unter den 69 Doktoranden waren auch sechs Frauen, was in der damaligen Zeit alles andere als selbstverständlich war. Frauen wurden in Preußen erst im Jahr 1908 allgemein zum Hochschulstudium zugelassen. Bekannt ist der Einsatz Hilberts und Kleins für die Mathematikerin Emmy Noether, die – obwohl unzweifelhaft hochqualifiziert – als Frau nur unter großen Schwierigkeiten einen Lehrauftrag in Göttingen erlangen konnte. Sie konnte jahrelang ihre Vorlesungen nur unter Hilberts Namen ankündigen. Im Zusammenhang mit den Diskussionen um Noethers Habilitationsgesuch fiel Hilberts vielzitierter Ausspruch „eine Fakultät ist doch keine Badeanstalt!“.

Im ersten Drittel des 20. Jahrhunderts hat Hilbert wesentlichen Anteil an der Entwicklung der Universität Göttingen zu einem führenden mathematisch-naturwissenschaftlichen Lehr- und Forschungszentrum gehabtGünter M. Ziegler und Andreas Loos: Der Einstein der Mathematik. Zum 150. Geburtstag von David Hilbert. In: Die Zeit, 12. Januar 2012, Seite 32.; er blieb ihr, trotz zahlreicher Angebote anderer Universitäten und Akademien (1898 Leipzig: Nachfolge Sophus Lie, 1902 Berlin: Nachfolge Lazarus Immanuel Fuchs, 1912 Heidelberg: Nachfolge Leo Koenigsberger, 1919: Bern und 1917: nochmals Berlin) bis zu seiner Emeritierung 1930 treu. Bis in das Jahr 1934 hielt er noch Vorlesungen an der Göttinger Universität. Auch in seinen Göttinger Jahren blieb Hilbert seiner ostpreußischen Heimat eng verbunden und verbrachte regelmäßig seine Ferien im Seebad Rauschen, „dem Paradies unserer Kindheit“.

1900 war er Präsident der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 1903 wurde er zum korrespondierenden Mitglied der Bayerischen Akademie der Wissenschaften gewählt.

1902–1939 war Hilbert Mitherausgeber der Mathematischen Annalen, der zu dieser Zeit bedeutendsten mathematischen Fachzeitschrift der Welt. In dieser Tätigkeit wurde er wesentlich durch seinen langjährigen Assistenten Otto Blumenthal unterstützt.

1928 hielt er einen Plenarvortrag auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Bologna (Probleme der Grundlegung der Mathematik). Anlässlich des Kongresses der Gesellschaft Deutscher Naturforscher und Ärzte in Königsberg gab er am 8. September 1930 seine berühmte Ansprache mit dem Titel Naturerkennen und Logik''. Damals wurde ein vierminütiger Auszug über Radio ausgestrahlt und ist bis heute auf einer Schallplatte erhalten geblieben.Eine Original-Schallplatte wird im Mathematischen Institut Göttingen aufbewahrt und eine Kopie der Schallplatte ist in dem Buch von Kurt Reidemeister (1971) enthalten. Das Tondokument im MP3 Format und der Text finden sich unter: http://quantumfuture.net/gn/zeichen/hilbert.php

1942 wurde er Ehrenmitglied der DMV.

1933: Die Machtergreifung Hitlers

Hilbert musste mitansehen, wie die weltberühmte mathematische und physikalische Tradition der Göttinger Universität durch die Nationalsozialisten nach ihrer Machtübernahme rücksichtslos zerstört wurde. Sogenannte „Nicht-Arier“ wie Edmund Landau, Richard Courant, Max Born, Felix Bernstein, Emmy Noether, Otto Blumenthal und politisch Andersdenkende wie Hermann Weyl wurden zur Aufgabe ihrer Tätigkeit genötigt oder in die Emigration gezwungen.Norbert Schappacher: Das Mathematische Institut der Universität Göttingen 1929–1950; in: Becker, Dahms, Wegeler (Hrsg.), Die Universität Göttingen unter dem Nationalsozialismus, München (K.G. Saur) 1987, 345–373 – zweite erweiterte Ausgabe: München (K.G. Saur) 1998, 523–551. [http://www-irma.u-strasbg.fr/~schappa/ Volltext] Als Hilbert bei einem Bankett 1934 von dem neuen preußischen Unterrichtsminister Bernhard Rust gefragt wurde, ob es denn stimme, dass sein Institut „unter dem Weggang der Juden und Judenfreunde“ gelitten habe, erwiderte dieser: „Das Institut - das gibt es doch gar nicht mehr!“D. Nachmansohn, R. Schmidt: Die große Ära der Wissenschaft in Deutschland 1900–1933, 1988, S. 55.

miniatur|hochkant|Grabstelle in Göttingen

Hilberts Tod im Jahr 1943 wurde von der deutschen wissenschaftlichen Öffentlichkeit auf dem Höhepunkt des Weltkrieges nur beiläufig registriert. An seinem Begräbnis nahm kaum ein Dutzend Menschen teil. Der anwesende, ebenfalls aus Königsberg stammende Arnold Sommerfeld verfasste in Die Naturwissenschaften einen Nachruf.Sommerfeld, A. / Carathéodory C.: Zum Andenken an David Hilbert: gestorben 14. Februar 1943. Ansprachen im Trauerhause am Morgen des Begräbnistages vor dem Sarge. Berlin 1943. In: Die Naturwissenschaften. 31. S. 213–214. Ganz anders in Amerika: Dort kam es an vielen Universitäten, wo ehemalige Absolventen des Göttinger Mathematischen Seminars wirkten, zu Gedenkveranstaltungen. Unter anderen verfasste auch Hermann Weyl in Princeton einen Nachruf.Hermann Weyl: David Hilbert and his mathematical work. Bulletin of the American Mathematical Society 50,612–654 (1944) [http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.bams/1183506085 pdf]

Hilberts Grab befindet sich auf dem Göttinger Stadtfriedhof an der Groner Landstraße.

Seine Büste befindet sich unter den Büsten der bedeutenden Professoren der Georgia-Augusta in der Aula am Wilhelmsplatz.[http://www.goettinger-tageblatt.de/Nachrichten/Goettingen/Uebersicht/10000-Euro-Schaden-in-der-Uni-Aula Göttinger Tageblatt online vom 18. Juni 2009 zur Beschädigung am 18. Juni 2009]

Werk

Im Folgenden werden Hilberts wichtigste Beiträge zu einzelnen Bereichen der Mathematik genauer beschrieben.

Algebraische Geometrie

Bis etwa 1893 leistete Hilbert Beiträge zur Invariantentheorie. Unter anderem bewies er den Hilbertschen Basissatz, der besagt, dass jedes Ideal in einem Polynomring über einem Körper endlich erzeugt ist. In seinem Nullstellensatz zeigte er den eindeutigen Zusammenhang von Nullstellen von polynomialen Gleichungen und Polynomidealen. Damit verband er Geometrie und Algebra, was zur Entwicklung der algebraischen Geometrie führte.

Zahlentheorie

In seinem bedeutenden Werk Zahlbericht von 1897 (algebraische Zahlentheorie) fasste er Arbeiten von Ernst Eduard Kummer, Leopold Kronecker und Richard Dedekind mit eigenen Ideen zusammen. Ein wichtiger Satz aus dieser Arbeit wird immer noch unter der dort verwendeten Nummerierung zitiert: Hilberts Satz 90 über die Struktur bestimmter Körpererweiterungen.

Geometrie

{{Hauptartikel|Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie}}

Hilberts Bestreben war es, die bislang sehr der Anschaulichkeit verhaftete, noch im Wesentlichen auf Euklid zurückgehende Geometrie möglichst vollständig von Begriffen aus der Anschauungswelt abzulösen und rein axiomatisch zu begründen. Eine solche axiomatische Begründung erschien Hilbert und vielen mathematischen Zeitgenossen unbedingt notwendig, da die zuvor verwendeten Begriffe aus der Anschauungswelt nicht die notwendige mathematische Exaktheit hatten und das darauf erbaute mathematische Gebäude der Geometrie somit auf „wackeligen Füßen“ zu stehen schien.

In seinem fundamentalen, 1899 zur Feier der Enthüllung des Gauß-Weber-Denkmals in Göttingen veröffentlichten Werk Grundlagen der Geometrie entwarf er für die euklidische Geometrie ein vollständiges Axiomensystem und entwickelte darauf aufbauend eine streng axiomatisch begründete Geometrie. Die von Hilbert verwendeten Begriffe „Punkt“, „Gerade“, „Ebene“ etc. haben keinen Bezug zur Anschauung mehr, wie es noch Euklid versucht hatte (z. B. „Ein Punkt ist, was keine Teile hat.“), sondern sind rein axiomatisch definiert. Hilbert wird der Ausspruch zugeschrieben, man könne statt „Punkte, Geraden und Ebenen“ jederzeit auch „Tische, Stühle und Bierseidel“ sagen; es komme nur darauf an, dass die Axiome erfüllt sind.

Aus dem Hilbertschen Buch folgt insbesondere, dass jede Geometrie, die dem Hilbertschen Axiomensystem genügt, bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist, nämlich isomorph zum dreidimensionalen reellen Vektorraum, in dem die Vektoren die Punkte und die Nebenklassen eindimensionaler Unterräume die Geraden sind, und in dem der Abstand zweier Punkte wie in der klassischen analytischen Geometrie gemessen wird, nämlich mit Hilfe des Satzes von Pythagoras.

Hilberts 23 Probleme

{{Hauptartikel|Hilbertsche Probleme}}

Im Jahr 1900 fand vom 6. bis 12. August der zweite internationale Mathematikerkongress parallel zur Weltausstellung in Paris statt.Ein kurzer Überblick im Vorwort zu: D. Hilbert: Die Hilbertschen Probleme. Verlag Harri Deutsch, Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften, Band 252. ISBN 978-3-8171-3401-4 Der Kongress tagte in 6 Sektionen: Arithmetik und Algebra, Analysis, Geometrie, Mechanik und Mathematische Physik, Geschichte und Bibliografie der Mathematik sowie Unterricht und Methodologie der Mathematik. An dem Kongress nahmen 226 Gelehrte aus aller Welt teil. Der damals 39-jährige Hilbert galt als einer der führenden deutschen Mathematiker und wurde gebeten, ein Grundsatzreferat in einer gemeinsamen Sitzung der 5. und 6. Sektion zu halten. Viele erwarteten von ihm, dass er in einer Art „Festrede“ zur Jahrhundertwende die großen Erfolge in der Entwicklung der Mathematik im vergangenen Jahrhundert Revue passieren lassen würde. Hilbert entschied sich jedoch ganz anders. Statt eines Rückblicks auf das vergangene Jahrhundert wagte er den kühnen Blick in die Zukunft. Die einleitenden Worte in seinem Vortrag am 8. August 1900 bringen das zum Ausdruck:

{{Zitat|Wer von uns würde nicht gerne den Schleier lüften, unter dem die Zukunft verborgen liegt, um einen Blick zu werfen auf die bevorstehenden Fortschritte unserer Wissenschaft und in die Geheimnisse ihrer Entwicklung während der künftigen Jahrhunderte! Welche besonderen Ziele werden es sein, denen die führenden mathematischen Geister der kommenden Geschlechter nachstreben? Welche neuen Methoden und neuen Tatsachen werden die neuen Jahrhunderte entdecken – auf dem weiten und reichen Felde mathematischen Denkens?|ref=D. Hilbert: Mathematische Probleme – Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900. In: Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch-Physikalische Klasse. S. 253–297 (1900) – [http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~kersten/hilbert/rede.html Volltext (Uni Bielefeld)] – [http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002498863 digitalisierter Volltext]}}

Für seinen Vortrag hatte er eine Liste von 23 ungelösten mathematischen Problemen aus ganz verschiedenen Teilgebieten der Mathematik (Geometrie, Zahlentheorie, Logik, Topologie, Arithmetik, Algebra, usw.) erstellt, von denen er 10 vortrug. In dieser Auswahl der Probleme ließ Hilbert seinen beeindruckenden umfassenden Überblick über die gesamte Mathematik erkennen. Er hatte diese Probleme ausgewählt, weil sie ihm von zentraler Bedeutung zu sein schienen und weil er sich von der Lösung dieser Probleme einen wesentlichen Fortschritt auf den entsprechenden Gebieten versprach. Diese später so genannten Hilbertschen Probleme wurden zur Leitschnur ganzer Generationen von Mathematikern, und die Lösung eines jeden Problems wurde als große Leistung angesehen. Von den Problemen gelten gegenwärtig (2012) 15 als gelöst, 3 als ungelöst und 5 als prinzipiell unlösbar. Der berühmteste Fall eines solchen unlösbaren Problems ist die Forderung nach einem Beweis für die Widerspruchsfreiheit der Axiome der Arithmetik (Hilberts 2. Problem), eine Forderung, deren Unerfüllbarkeit durch Kurt Gödel 1930 bewiesen wurde. Das berühmteste ungelöste Problem ist die Frage nach den Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion, Hilberts 8. Problem.

Logik und Grundlagen der Mathematik

{{Hauptartikel|Hilbertprogramm}}

Hilbert gilt als Begründer und exponiertester Vertreter der Richtung des Formalismus in der Mathematik. Bereits in der Liste der ungelösten Probleme wies Hilbert darauf hin, dass die Widerspruchsfreiheit der Arithmetik nicht geklärt sei. Anfang der 20er Jahre stellte er als Reaktion auf die Grundlagenkrise der Mathematik die Forderung auf, die Mathematik vollständig auf einem Axiomensystem aufzubauen, das nachweislich widerspruchsfrei sein sollte. In Hilberts Worten:D. Hilbert: Neubegründung der Mathematik. Erste Abhandlung. In: Abhandl. aus dem Math. Seminar d. Hamb. Univ., Bd. 1, S. 157–177 (1922), veröffentlicht in Gesammelte Werke, Bd. 3, Kapitel 10 [http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN237834022 pdf]

{{Zitat|Das ist es aber, was ich verlange: es soll in mathematischen Angelegenheiten prinzipiell keine Zweifel, es soll keine Halbwahrheiten und auch nicht Wahrheiten von prinzipiell verschiedener Art geben können […].}}

und weiter:

{{Zitat|Das Ziel, die Mathematik sicher zu begründen, ist auch das meinige; ich möchte der Mathematik den alten Ruf der unanfechtbaren Wahrheit, der ihr durch die Paradoxien der Mengenlehre verlorenzugehen scheint, wiederherstellen; aber ich glaube, dass dies bei voller Erhaltung ihres Besitzstandes möglich ist.}}

Den intuitionistischen Ansatz von Brouwer, den Hilberts Schüler Weyl als „revolutionär“ bezeichnet hatte, lehnte Hilbert scharf ab, vor allem auch deswegen, weil er die Mathematik eines großen Teils ihres bisherigen „Besitzstandes“ beraubt hätte:

{{Zitat|Was Weyl und Brouwer tun, kommt im Grunde darauf hinaus, daß sie die einstigen Pfade von Kronecker wandeln: sie suchen die Mathematik dadurch zu begründen, daß sie alles ihnen unbequem erscheinende über Bord werfen und eine Verbotsdiktatur à la Kronecker errichten. Dies heißt aber unsere Wissenschaft zerstückeln und verstümmeln, und wir laufen Gefahr einen großen Teil unserer wertvollsten Schätze zu verlieren, wenn wir solchen Reformatoren folgen. […] nein, Brouwer ist nicht, wie Weyl meint die Revolution, sondern die Wiederholung eines Putschversuches mit alten Mitteln, der […] von vorneherein zur Erfolglosigkeit verurteilt ist.|ref=}}

Hilberts erklärte Zielsetzung war es, die Arithmetik und letztlich die ganze darauf aufbauende Mathematik auf ein System von widerspruchsfreien Axiomen zu gründen. Dieses Bestreben wurde als „Hilbertprogramm“ bekannt. Im Rahmen dieses Programms formulierte Hilbert den später nach ihm benannten Hilbert-Kalkül. Das Hilbertprogramm erwies sich in der von Hilbert intendierten Form letztlich als nicht durchführbar, wie Kurt Gödel mit seinem 1930 veröffentlichten Unvollständigkeitssatz zeigen konnte. Trotzdem war das Hilbertprogramm für die Mathematik sehr fruchtbar, da es in weiten Bereichen von Mathematik und Logik zu einem vertieften Verständnis der Struktur formaler Systeme mit deren Grenzen und zur Begriffsklärung beitrug.

Analysis

In der Variationsrechnung stellte Hilbert das von Riemann in dessen Abbildungssatz verwendete Dirichlet-Prinzip auf feste Grundlagen. In den Integralgleichungen schloss er einige Lücken von Fredholm im Beweis der fredholmschen Alternative. Diese Themen flossen wesentlich in die Entwicklung der Funktionalanalysis ein. Insbesondere der wichtige Hilbert-Raum ist untrennbar mit seinem Namen verbunden.

Mathematische Physik

Hilberts Arbeiten zu Funktionenräumen (Hilbert-Raum) und partiellen Differentialgleichungen gehören heute zu den Grundlagen der mathematischen Physik. Hilbert begann sich ab 1912 intensiv der Physik zuzuwenden (zunächst in Anwendungen von Integralgleichungen auf die kinetische Gastheorie), mit deren mathematischer Behandlung er unzufrieden war. Ein bekanntes Zitat von Hilbert lautet: Die Physik ist für die Physiker eigentlich viel zu schwer. Reid Hilbert, Springer Verlag 1996, S.127 Sein Schüler und Assistent Richard Courant schlug ihm 1918 vor, ein Buchprojekt zu diesem Thema zu beginnen, das weitgehend von Courant selbst realisiert wurde, aber - wie dieser im Vorwort schrieb - auf Abhandlungen und Vorlesungen Hilberts beruhte und vom Geist der Hilbert Schule durchdrungen sei, weshalb er (Courant) darauf bestanden habe, Hilbert als Ko-Autor aufzuführen. Nach Hilberts Biographin Constance Reid zeigte Hilbert ein Interesse an dem Buch seines ehemaligen Studenten, beteiligte sich aber ansonsten in keiner WeiseHe showed an interest in the book his former student was writing bud did not participate in any other way, Constance Reid Courant, Springer/Copernicus 1996, S. 97. Der erste Band erschien 1924, der zweite 1937. Das Buch wurde ein Grundlagenwerk der mathematischen Physik in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts (und erfuhr nochmals in den 1950er und 1960er Jahren eine völlige Neubearbeitung durch Courant), als Nachfolger der Theory of Sound von Lord Rayleigh. Es war und ist allgemein als der Courant/Hilbert bekannt und erwies sich in der bald darauf einsetzenden stürmischen Entwicklung der Quantenmechanik als wichtige Quelle, aus der theoretische Physiker die dazu notwendige neue Mathematik erlernten.

Hilbert verfolgte auch ein Programm zu den axiomatischen Grundlagen der Physik, einem der Hilbertschen Probleme. Eine Frucht daraus waren seine Arbeiten zur Allgemeinen Relativitätstheorie. Mit der Entwicklung der Quantenmechanik in Göttingen um 1925 begann er sich auch dafür zu interessieren, teilweise in Zusammenarbeit mit John von Neumann und seinem physikalischen Assistenten (die Arnold Sommerfeld regelmäßig für Hilbert auswählte) Lothar Nordheim. 1928 entstand daraus der Aufsatz Die Grundlagen der Quantemechanik von Nordheim, Hilbert und von Neumann.

Allgemeine Relativitätstheorie

{{Hauptartikel|Allgemeine Relativitätstheorie}}

Am 20. November 1915, fünf Tage vor Einstein, reichte Hilbert eine Arbeit zur allgemeinen Relativitätstheorie ein, die zur einsteinschen Theorie äquivalent war, allerdings ohne die einsteinschen Feldgleichungen, die aber in Hilberts Variationsprinzip enthalten sind. Seine Arbeit erschien jedoch erst nach der einsteinschen Arbeit. Hilbert hat niemals die Urheberschaft für die Allgemeine Relativitätstheorie beansprucht und einen öffentlichen „Prioritätenstreit“ zwischen Einstein und Hilbert gab es nicht. Verschiedene Wissenschaftshistoriker haben jedoch sehr wohl über die Priorität spekuliert. Während zum Beispiel Fölsing behauptet, dass Einstein möglicherweise von Hilbert beeinflusst wurde,Albrecht Fölsing: Albert Einstein (1995), ISBN 3-518-38990-4 – Leben und Werk werden sehr ausführlich auf 959 Seiten wissenschaftlich dargestellt. haben umgekehrt Corry/Renn/Stachel die eigenständige Vervollkommnung der Gleichungen durch Hilbert aufgrund einer Entdeckung im Jahre 1997 angezweifelt,Leo Corry, Jürgen Renn, John Stachel: [http://www.tau.ac.il/~corry/publications/articles/science.html Belated Decision in the Hilbert-Einstein Priority Dispute], SCIENCE, Vol. 278, 14 November 1997. was jedoch wiederum von anderen bestritten wird.Daniela Wuensch, Zwei wirkliche Kerle, Neues zur Entdeckung der Gravitationsgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie durch Einstein und Hilbert. Termessos, 2005, ISBN 3-938016-04-3Klaus P. Sommer: Wer entdeckte die Allgemeine Relativitätstheorie? Prioritätsstreit zwischen Hilbert und Einstein. In: Physik in unserer Zeit. 36, Nr. 5, 2005, S. 230–235, ISSN 0031-9252

Gegen das Ignorabimus

Hilbert wehrte sich immer gegen eine Sicht der Grenzen der Wissenschaft im Sinne eines ignoramus et ignorabimus. Sein Glaube, dass der Mensch die Welt verstehen kann, zeigt sich in seinem Ausspruch: Wir müssen wissen, und wir werden wissen. Was Hilbert damit sagen wollte, wird aus dem folgenden Zitat deutlich:

{{Zitat|Einst sagte der Philosoph Comte – in der Absicht ein gewiss unlösbares Problem zu nennen –, daß es der Wissenschaft nie gelingen würde, das Geheimnis der chemischen Zusammensetzung der Himmelskörper zu ergründen. Wenige Jahre später wurde durch die Spektralanalyse durch Kirchhoff und Bunsen dieses Problem gelöst, und heute können wir sagen, daß wir die entferntesten Sterne als wichtigste physikalische und chemische Laboratorien in Anspruch nehmen, wie wir solche auf der Erde gar nicht finden. Der wahre Grund, warum es Comte nicht gelang, ein unlösbares Problem zu finden, besteht meiner Meinung nach darin, daß es ein solches gar nicht gibt.|ref=David Hilbert: Naturerkennen und Logik. Naturwissenschaften 1930, S. 959–963 (auch veröffentlicht in: Gesammelte Abhandlungen Bd. 3, S. 378) [http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN237834022 digitalisierter Volltext]}}

Oder in anderen Worten:

{{Zitat|Diese Überzeugung von der Lösbarkeit eines jeden mathematischen Problems ist uns ein kräftiger Ansporn während der Arbeit; wir haben in uns den steten Zuruf: Da ist das Problem, suche die Lösung. Du kannst sie durch reines Denken finden; denn in der Mathematik gibt es kein Ignorabimus.|ref=}}

Hilbert plädiert damit für einen Optimismus in der Forschung, der selbstgesetzte Beschränkungen des Denkens ablehnt. Das Motto findet sich auch auf seinem Grabstein:

{{Zitat|Wir müssen wissen.
Wir werden wissen.}}

Nach David Hilbert benannte Begriffe und Sätze

* Hilbert-Raum
* Hilbert-Matrix
* Hilbert-Kurve
* Hilbert-Transformation
* Hilbert-Kalkül
* Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie
* Hilbertscher Basissatz
* Hilbertscher Nullstellensatz
* Hilbertscher Syzygiensatz, siehe dazu auch Syzygium.
* Hilberts Hotel
* Hilberts Satz 90
* Hilbert-Schmidt-Operator
* Hilbertwürfel

* Außerdem sind ein Mondkrater und ein Asteroid nach David Hilbert benannt.ssd.jpl.nasa.gov: [http://ssd.jpl.nasa.gov/sbdb.cgi?sstr=12022+Hilbert 12022 Hilbert (1996 XH26)], Zugriff am 3. Juli 2010

Schriften

* [http://www.archive.org/details/grunddergeovon00hilbrich Grundlagen der Geometrie]. Teubner, Leipzig 1903
* [http://echo2.mpiwg-berlin.mpg.de/content/modernphysics/hilbert Die Grundlagen der Physik]. 1915
* ''[http://name.umdl.umich.edu/ACU8916.0003.001 Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen]. Teubner, Berlin 1912.
* [http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN237820250 Gesammelte Abhandlungen]. Julius Springer, Berlin.
** Erster Band: [http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN237821559 Zahlentheorie]. 1932
** Zweiter Band: [http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN237833719 Algebra, Invariantentheorie, Geometrie]. 1933
** Dritter Band: [http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN237834022 Analysis, Grundlagen der Mathematik, Physik, Verschiedenes, Lebensgeschichte]. 1935
* Übersetzung: Foundations of Geometry. 1902 [http://www.gutenberg.org/etext/17384 Gutenberg eText]

* Grundzüge der theoretischen Logik. 1928 mit Wilhelm Ackermann

Einzelnachweise

Literatur

* Constance Reid: Hilbert. Copernicus Books, New York 1996, ISBN 0-387-94674-8 (maßgebliche Hilbert-Biographie).
* Hermann Minkowski: Briefe an David Hilbert. Herausgegeben von L. Rüdenberg und H. Zassenhaus. Springer-Verlag, Berlin & Heidelberg 1973, ISBN 3-540-06121-5
* Rudolf Larenz: Der Wille zum widerspruchsfreien Wissen. Zum 150. Geburtstag von David Hilbert In: Die Tagespost, Würzburg, 21. Januar 2012, Seite 10.
* Kurt Reidemeister (Hrsg.): Hilbert – Gedenkband. Springer, Berlin, Heidelberg & New York 1971, ISBN 3-540-05292-5
* Klaus P. Sommer: Wer entdeckte die Allgemeine Relativitätstheorie? Prioritätsstreit zwischen Hilbert und Einstein. In: Physik in unserer Zeit. Band 36(5), S. 230–235, 2005.
* Jules Leveugle: La Relativité, Poincaré et Einstein, Planck, Hilbert. Paris 2004

* {{Literatur | Autor= Dietmar Dath | Titel= Höhenrausch. Die Mathematik des 20. Jahrhunderts in zwanzig Gehirnen | Verlag= Eichborn | Ort= Frankfurt a. M. | ISBN= 3-8218-4535-X | Jahr= 2003 | Seiten= 29–48 | Kommentar= biographischer Essay }}

Weblinks

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* {{Wikilivres}}
* [http://www.math.uni-goettingen.de/historisches/hilbert.html Biographie an der Universität Göttingen]
* {{DNB-Portal|11855090X}}
* {{SEP|http://plato.stanford.edu/entries/frege-hilbert/|The Frege-Hilbert Controversy|Patricia Blanchette}}
* [http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~ci3/manu.html#HIK David Hilbert in Königsberg] – Vortrag von Peter Roquette, gehalten am 30. September 2002 an der Mathematischen Fakultät Kaliningrad
* [http://math.sfsu.edu/smith/Documents/HilbertRadio/HilbertRadio.mp3 Radioansprache 1930 als Tondokument] und als [http://math.sfsu.edu/smith/Documents/HilbertRadio/HilbertRadio.pdf Textdokument] (Zitat „Wir müssen wissen, wir werden wissen.“)

* {{MacTutor Biography|id=Hilbert}}

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